A propósito de ‘Cálculo mental’ (Solución)

Ya les dije que mi respuesta a esta pictórica y escolar suma de cinco cuadrados, con posterior división por un número, era dos (2), y que me había costado algo sacarla tal como lo exige el cuadro, es decir mentalmente. Lo que no les aclaré es cómo la había llevado a cabo.

Pero, como suele decir el carnicero de mi barrio cuando me atiende, “Vayamos por parte Don Carlos”, antes les recuerdo que se trata de un óleo sobre lienzo cuyo título completo es ‘Cálculo mental. En la escuela pública de S. A. Rachinsky’ y que fue pintado entre 1895 y 1896 por el ruso Nicolai Petrovich Bogdanov-Belski (1868-1945).

Y puesto en contexto, empezamos. Verán. De los tres cálculos a realizar para dar la respuesta, el primero es el de las potencias, y han de saber que a quien esto escribe, por edad y formación, no le resulta nada difícil responderlas.

No porque desde pequeño, y como muchos jóvenes de mi época escolar, memorizaba los cuadrados de al menos los treinta (30) primeros números enteros. Es algo como: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 56, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324 y así hasta completar la treintena, que no les quiero cansar.

Luego, ya tengo el primero de los cálculos. Ahora se trata de sumar esa manita de números que fue lo que más trabajo me costó, pero lo conseguí. Suman setecientos treinta (730) y la llevé a cabo emparejándolos: 144 más 196 dan 340; 121 más 169 dan 290, que con 340 suman 630 y que más 100 hacen 730.

Naturalmente la división estaba chupada, ya que el numerador resultante fácilmente se ve que es el doble del denominador, 365. Luego la solución es 2. Un cálculo mental puro y duro, con cierto mérito para algunos, pero que no deja de ser una solución particular de adolescente.

Lo adulto es pegar un tiro por elevación y plantearse si existe alguna solución generalizada. Lo digo porque si se fija, la suma de los cuadrados de los tres primeros números (10, 11 y 12) nos da el mismo resultado que la de los cuadrados de los dos siguientes (13 y 14), o sea 365.

10² + 11² + 12²  =  13² + 14²  =  365

¿Es esta igualdad un caso aislado? ¿O hay alguno más como él? ¿No será que se trata de un caso particular de un resultado más general? A modo de pista y como aviso a navegantes, les apunto que las sumas de cuadrados dan más de una sorpresa aritmética. Quedo a la espera de sus respuestas. Ya me contarán.

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