Pasatiempos. 474 (Solución 2)

(Continuación) Y por último en el tercer nivel para el problema de Monty Hall, la explicación matemática basada en probabilidades condicionadas (Teorema de Bayes), que seguro es la forma más rigurosa pero también la que, quizás, peor se entienda a nivel general.

Tras la que le ofrezco están alguna universidad española y sí, la IA, ya sabe la sigla o acrónimo en español de Inteligencia Artificial, en mayúsculas, sin puntos, ni espacio intermedio y que nos demuestra que cambiar de puerta duplica las probabilidades de ganar de 1/3 a 2/3.

Una explicación matemática. Planteamiento

Y es que, según la medida de probabilidad condicionada o condicional, cuando elegimos una puerta (probabilidad, 1/3, la de que el coche esté en las otras dos puertas es de 2/3. Pero cuando el presentador abre una puerta con cabra, toda esa probabilidad de 2/3 se concentra en la puerta que queda sin abrir. Elemental.

Supongamos las tres puertas A, B y C, con el coche detrás de una elegida al azar, la misma probabilidad uniforme P (A) = P (B) = P (C) = 1/3, y que el concursante elige la A, por decir una.

Es entonces cuando hace acto de aparición el concepto de probabilidad condicionada y su influencia sobre la acción del presentador (recuerde, Monty) que sabe desde el principio dónde está el coche. La casuística que se le presenta es, si el coche está: en A, él puede abrir B o C (probabilidad 1/2 para cada una); en B, entonces está obligado a abrir C (probabilidad 1); en C, entonces está obligado a abrir B (probabilidad 1).

Calculando que es gerundio y por ejemplificar

Supongamos que Monty abre la puerta C, mostrando una cabra, en este caso la probabilidad condicionada de que el coche esté en B, dado que el concursante eligió A y Monty abrió C, es: 

Y por el teorema de Bayes estos componentes valen 

Lo que nos da el resultado de

Ergo, como la probabilidad de que el coche esté en la puerta inicial A bajo las mismas condiciones sigue siendo 1/3, el hecho de cambiar de puerta otorga una probabilidad de éxito de 2/3, mientras que mantenerse ofrece solo 1/3.

Ni que decir que quedo abierto a otra posible solución y por mi parte, a cambio, le contaré algo de nuestros nuevos amigos Bayes, Selvin y Savant. Quedo a la espera.

[*] Introduzcan en [Buscar en el blog] las palabras en negrilla y cursiva, si desean ampliar información sobre ellas.