La balanza no distingue el plomo del oro.

Anónimo

lunes, 11 de mayo de 2020

Números narcisistas: Variantes (1)

(Continuación) “Solamente hay cuatro números, aparte de la unidad, que son la suma de los cubos de sus dígitos… Se trata de hechos curiosos, muy adecuados para las columnas de acertijos y que desde luego entretienen a los aficionados, pero no hay nada en ellos que despierte la atención del matemático”.
Y por lo que tengo averiguado es así, no hay nada en ellos que interese especialmente a un matemático y no se conocen aplicaciones prácticas de esta familia de números, si bien dentro de las matemáticas recreativas son útiles como ejercicio de entretenimiento, reto intelectual o para aumentar nuestro conocimiento de los números tan necesarios por otra parte en nuestra vida.
Por otro lado, no se puede descartar que en un futuro más o menos próximo no se le encuentren aplicaciones, mas, aunque no sea así los narcisistas son por sí mismos unos números curiosos e interesantes y dan su juego en las columnas del rompecabezas y para divertir a los aficionados a estas cosas.
Le decía más arriba que en principio ‘un número de “n” dígitos es narcisista si coincide con la suma de sus dígitos elevados a la n potencia del número de cifras’ y también le indicaba que ésta es una de las manipulaciones matemáticas con la que pueden obtenerse.
4 679 307 774 = 410 + 610 + 710 + 910 + 310 + 010 + 710 + 710 + 710 + 410
Algo que omití y ahora pongo negro sobre blanco es que dicha definición depende de la base b del sistema numérico empleado, el decimal (b=10) o el binario (b=2) por poner dos ejemplos próximos a nosotros.
Otros números narcisistas
Pero existen otras manipulaciones matemáticas de los n dígitos que componen un número, variantes de la anterior, de las que le traigo solo algunas y que para facilitar su identificación encabezo con la fórmula que las caracteriza:
A) abc = a1 + b2 + c3. Un número de n dígitos es narcisista si se obtiene a partir de la suma de sus dígitos elevados a potencias en orden creciente, sirvan de ejemplos los números de cuatro y siete dígitos, 1676 y 2 646 798: 
     1676 = 11 + 62 + 73 + 64 = 1 + 36 + 343 + 1296
2 646 798 = 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87 = 2 + 36 + 64 + 1296 + 16 807 + 531 441 + 2 097 152
de este último apuntar que es el único número natural de siete cifras que existe en esta variante.
B) abcde = 5a + 5b + 5c + 5d + 5e. Otra variación son los números narcisistas llamados de base constante, es decir aquellos que se obtienen como suma de potencias de una base n elevada al número n de dígitos en cuestión, por ejemplo, el número de cuatro dígitos, 4624:
4624 = 44 + 46 + 42 + 44 = 256 + 4096 + 16 + 256        sorprendente ¿no les parece? (Continuará)
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