Dirichlet. Principio del palomar y (más) aplicaciones

(Continuación) El sentido común, la ciencia popular, nos dice que no es fácil que ocurra la coincidencia del cumpleaños, ya sabe, que de un grupo de 23 personas seleccionadas aleatoriamente, al menos dos cumplan el mismo día. No, la probabilidad es muy pequeña, 23 frente a 365 (o 366).

Sin embargo, la lógica matemática, la ciencia académica, dice todo lo contrario, y para comprobarlo basta con echar las cuentas, cuentas bachilleras que nos muestran que las populares estimadas son solo probabilidades contraintuitivas y que la paradoja del cumpleaños como tal no existe.

De la “paradoja del cumpleaños”

Por decirlo de otra forma es “verídica” porque (parece) romper la intuición, pero, matemáticamente, no puede ser más sólida al establecer para ese grupo, de poco menos de un par de docenas, una probabilidad del 50,7 % de que al menos dos de ellas compartan la misma fecha de cumpleaños.

Un porcentaje que pasa a ser del 70,63 % para treinta personas (una clase de secundaria) y del 99,41 % para sesenta personas (dos clases). Unos números sorprendentes si piensa que para tener un 100 % de probabilidad debe haber trescientas sesenta y siete personas (pienso en el 29 de febrero de un año bisiesto).

Y es que, aunque intuitivamente nos parezca poco probable, la alta cantidad de combinaciones de parejas lo hace un fenómeno matemático cierto, dado que no se trata de comparar un cumpleaños en concreto con el del resto, sino de encontrar que coincidan un par cualquiera de ellos.

Y el alto número de combinaciones de parejas con solo 23 individuos es de 23·22/2 = 253, o sea que sí, no es como parece; de hecho, este principio tiene aplicación real y por ejemplo en ciberseguridad, se emplea para prevenir ataques de colisión en “algoritmos de hash” y en el análisis de datos para calcular riesgos de duplicados. (La paradoja del cumpleaños)

Aplicaciones curiosas y divertidas: ingenio y cálculo

Aunque le sorprenda, el principio del palomar permite demostrar cuestiones tan dispares como:

“Sobre la superficie terráquea, en cada instante, hay al menos un lugar donde no sopla el viento”. Epatante afirmación que nace en la disciplina de la topología, lleva de nombre “teorema de la bola peluda” y significa que en la Tierra siempre debe haber al menos un punto donde el vector del viento valga cero. Qué me dice. (Continuará)

[*] Introduzcan en [Buscar en el blog] las palabras en negrilla y cursiva, si desean ampliar información sobre ellas.