Dirichlet. Principio del palomar y matemáticas (y 2)

(Continuación) Entendiendo tal dispositivo, “cajón”, como pieza móvil de diversos muebles -cerrada por sus costados y base, y abierta por arriba- usada para guardar diversos elementos de forma ordenada; de hecho, originalmente escribió acerca de distribuir perlas entre esos cajones.

Con algunos pasos intermedios, posteriormente, vino la transformación terminológica en palomas y palomares, entendidos estos como cada uno de los huecos que las albergan y ya saben, con la quevedesca perogrullada de marra: si hay más palomas que huecos en el palomar, alguno o algunos de aquellos tendrán en su interior más de un ave columbiforme. Elemental.

En puridad sobre el origen de este principio palomero he de abrir un paréntesis pues en el primer cuarto del siglo XVII, es decir doscientos años antes que lo hiciera nuestro alemán, un francés ya escribió sobre él.

Cierro paréntesis, pero habrá que volver sobre él a la menor oportunidad, ahora pasamos a desarrollar lo que nos trae, algunas de las implicaciones del teorema.

Herramienta matemática

Este principio -en el que podemos hablar de manera general de objetos y cajas, piense por ejemplo en nuestros zapatos y los huecos del zapatero de nuestro vestidor- a pesar de su sencillez y evidencia, tanta que no necesita demostración, lo cierto es que se muestra como una potente herramienta matemática capaz de demostraciones de lo más variadas.

Desde divertidas curiosidades poco imaginadas e imaginables; hasta ser capaz de mapear conexiones ocultas entre diferentes problemas; pasando por su aplicación en funciones (no existe una función inyectiva entre dos conjuntos finitos si el dominio tiene más elementos que el codominio).

O en diferentes campos de la informática teórica y la combinatoria como: teoría de la complejidad computacional, criptografía, demostración de la existencia de colisiones o coincidencias, teoría de juegos algorítmica, etcétera. Desde los más triviales a los más profundos.

No es cosa de pájaros

Y es que el principio del palomar se aplica a cualquier situación en la que objetos se asignan a categorías y el número de los primeros supera al de los segundos; una situación mucho más frecuente de lo que imaginamos que, unida a un teorema de definición engañosamente simple y breve, nos puede llevar al error de no darle la relevancia científica que tiene.

Si diez palomas se acurrucan en nueve palomares, al menos dos de ellas deben compartir un agujero. Así de simple y de complejo a la vez. Eso es todo, ni más ni menos. Un tema de conversación que, dicho así, a bote pronto, parece un chascarrillo capaz de provocar una sonrisa, pero no se equivoque, no lo infravalore. (Continuará)

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