Dirichlet. Principio del palomar y aplicaciones

(Continuación) El primero en no hacerlo fue el matemático prusiano J. Lejeune Dirichlet (1805-1859), uno de los más importantes del siglo XIX, quien lo utilizó de manera explícita al trabajar en teoría de números; concretamente en una investigación para demostrar un resultado de aproximación de números irracionales mediante racionales.

Aplicaciones curiosas y divertidas: cartas y palabras

Estas que le traigo, relacionadas más o menos con la vida cotidiana, tienen una comprobación más o menos pronta y evidente, pero no olvide que el teorema es de largo alcance:

“Si escoge cinco cartas de una baraja española, al menos dos serán del mismo palo”. Ya, quizás he puesto el listón demasiado bajo; una baraja tiene 4 palos luego, necesariamente, dos de las 5 deben tener el mismo.

“En cualquier texto español, por cada frase de 28 palabras, dos de ellas por lo menos comenzarán con la misma letra”. De acuerdo, tampoco es que lo haya subido mucho; si el abecedario español tiene 27 letras, y tenemos 28 palabras, al menos dos empezarán por la misma. 

“En un concierto con más de 800 personas, habrá dos con las mismas iniciales en nombre y primer apellido”. La respuesta tiene que ver de nuevo con las letras del abecedario, 27, lo que nos da un número de combinaciones entre nombre y apellido de 27 x 27 = 729; es decir, que si tenemos más de 800 personas, dos de ellas deben compartir las mismas iniciales.

Aplicaciones curiosas y divertidas: marchando una de cumpleaños cartas y números

Pero no todas son tan triviales, algunas pueden ser de más calado y una muestra de su generalización, como la, en un principio, paradoja del cumpleaños, tanto en su versión mensual como de fecha.

“¿Cuántas personas deben constituir un grupo para tener la certeza de que al menos dos cumplen años en el mismo mes?”. Si consideramos los 12 meses del año, la respuesta es obvia, a partir de ese número se cumplirá, pero esto tiene más de lógica que de paradoja. Algo parecido a esta otra.

“¿Cuántas personas deben constituir un grupo para tener la certeza de que al menos dos cumplen años el mismo día?”. Pues 366 personas si el año es normal (de 365 días) o 367 personas si es bisiesto (366 días); otra cuestión bien distinta es que plantee una posibilidad tan contraintuitiva como ésta.  

“¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de, por ejemplo, 23 personas haya dos que cumplan los años el mismo día del mismo mes?”. Quizás piense que más bien poca, al fin y al cabo, solo son 23 frente a 365 (o 366), ¿una proporción demasiado pequeña para que esto ocurra? (Continuará)

[*] Introduzcan en [Buscar en el blog] las palabras en negrilla y cursiva, si desean ampliar información sobre ellas.