Pasatiempos. 238 (Solución)

En efecto cabe una pelota de tenis.

Y lo hace a pesar de que la banda, ahora, mide 40 000 001 m en vez de 40 000 000 m; es decir solo mide un metro más, lo que parece poco, muy poco comparado con los millones. Ya.

Pero sólo se puede decir que eso, que lo parece. Y en esta vida (casi) nada es lo que parece.

Como ocurre en este caso. Porque lo cierto es que ese metro de más será suficiente para poder separar la banda de la superficie aproximadamente 0,16 m, o lo que es lo mismo 16 cm.

¿Curioso verdad?

Paradoja de la banda esférica

De hecho en el mundillo matemático, a esta situación se la conoce como la paradoja de la banda esférica. Pero vamos no se deje impresionar por la expresión, porque en el fondo no es nada del otro mundo.

Primero porque no es una paradoja stricto sensu. Sencillamente choca contra nuestro sentido común, debido a que la solución nos parece del todo imposible.

Y segundo porque, en realidad, solo es geometría bachillera aplicada a la circunferencia. Veamos.

Cuando la banda está pegada, lógicamente mide lo mismo que la longitud (L) de la circunferencia terráquea, o sea que tiene el mismo radio (r); y por geometría plana conocemos la relación entre ambas magnitudes circunferenciales.

De la circunferencia, considerada como curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro, sabemos desde los tiempos de la antigua Babilonia, actual Irak, que su longitud es proporcional (2 · π) al radio, o al diámetro (π).

Y ahí está el quid de la cuestión.

El único factor que determina cuánto se separa la banda de la superficie (∆r), es el valor del aumento de longitud (x) que le demos a aquella; de modo que si es un metro (1 m) como en el pasatiempo:

1 = 2 · 3,14 · ∆r  ;  ∆r = 0,16 m = 16 cm

Ahí lo tiene. Por el mismo cálculo, si hubiesen sido diez metros (10 m), pues se separaría 1,60 m. Es decir que casi podría pasar por debajo usted mismo, con algo que se agachara.

Pero voy un paso más allá.

La separación no solo depende en exclusiva, del aumento de longitud (x) que le demos a la banda sino que, además, es independiente del tamaño del cuerpo en cuestión.

Trato de decirles que lo mismo da que sea la Tierra, que el Sol, que un balón de baloncesto, que una naranja. Lo mismo da que da lo mismo. Y por si no me creen les dejo con una sencilla demostración.

1) Longitud de la banda ajustada a superficie del objeto esférico:    L = 2 · π · r

2) Longitud de la banda con unos metros (x) de más:   L + x = 2 · π · r'

3) Si restamos una de otra:   x = 2 ·π · (r´-r)  ;   ∆r = x / 2 ·π                    Q.E.D.

Luego la separación sólo depende del aumento de la banda, ∆r = f(x) y es independiente del tamaño (r) del objeto en cuestión, ∆r ≠ f(r)

¡Ay el poder de las matemáticas!