Del penalti (fallido) de Ramos a la mecánica newtoniana (y VIII)

…También se puede plantear la resolución del problema, considerando que la aceleración de la gravedad depende de la altura a la que se encuentre el balón

Es decir que la aceleración de la gravedad no es constante, g ≠ cte.

Hablaríamos de un campo gravitatorio central en el que g = G·M / (R_T+h)².

Una dependencia inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia newtoniana (r). Una disminución, desde el punto de vista cuantitativo, a tener en cuenta.

Lo que viene a significar, que dependería de la altura máxima a la que suba el balón del problema, el que debamos o no utilizar un tipo de campo u otro. Lo dejaremos para más adelante.

Ahora vamos a pasar a resolver el segundo apartado del problema. Ya saben, si corren los de la estación espacial el peligro de un balonazo.


b)
Para ello nos basta con saber a qué altura máxima sube éste y compararla con la del radio orbital de la estación, que el enunciado del problema nos dice que es 3R_T.

Algo relativamente fácil ya que aplicaremos de nuevo el PCE para la nueva situación física, entre la superficie del planeta y la órbita del satélite.

Ec (T) + Ep_G (T) = Ec (O) + Ep_G (O)     

y definidas como:     Ec = m·v² / 2     y    Ep_G = -G·M·m / R_T

m · v_o² / 2 - G·M·m / R_T = - G·M·m / r          

y siendo         v_o  =  v_esc/2  =  (2G·M/R_T)^1/2 / 2


sustituyendo nos da:      r = 4/3 R_T


No. No corrieron ningún peligro. Los de la estación orbitaban a 3R_T.

Pero claro, esa distancia es el radio orbital, la distancia newtoniana. Y lo que nos interesa saber es la altura a la que están ambos para poderlas comparar.

Como r = R_T + h, la pelota subió a una altura sobre la superficie terrestre:

h = 4·R_T/3 - R_T    ;       h = R_T/3,

mientras que los astronautas estaban a una altura sobre la misma superficie de 2R_T.

Demasiado alto como para alcanzarlos. No hay que preocuparse por ellos, pero sí por lo que dejamos más arriba.

Cinemática (no tan) bachillera

La altura alcanzada, R_T/3, sí nos debe hacer reflexionar sobre el planteamiento cinemático inicial.

Un tercio del radio terrestre es altura suficiente como para no considerar el campo gravitatorio uniforme sino central. Lo que tiene sus consecuencias.

Una de ellas sería que el balón ya no describiría un movimiento parabólico. Otra, que habría que comparar el valor del alcance máximo con el radio de la Tierra.

Si fuera mayor, el balón podría incluso orbitar, describiendo bien una circunferencia, bien una elipse.

Se trataría de un sistema ligado en el que la energía mecánica es menor que cero, E_M < 0. Pero eso es ya otro problema.

Bueno, pues ya está. Dejo de sus manos los cálculos cinemáticos del campo central. Los espero.