Del penalti (fallido) de Ramos a la mecánica newtoniana (V)

Sí. Por fin. Tardío, pero cierto. Vamos con la resolución del problema. Por si no lo recuerdan les ofrezco el enunciado.

Sergio Ramos, presa del pánico por la responsabilidad que tenía en sus botas, calcula mal los parámetros de un penalti y el balón, de masa m, es lanzado formando un ángulo π/4 con la vertical y con una velocidad igual a la mitad de la velocidad de escape. El balón nunca llegó a la portería contraria.

Suponiendo conocido el radio y la masa de la Tierra, R_T y M respectivamente, y despreciando la rotación de la Tierra y el rozamiento del aire:

a) Calcule las constantes del movimiento del balón.

b) Si la estación espacial internacional describe una órbita circular de radio de 3R_T, ¿deben temer sus ocupantes un posible impacto del balón?

a) En lo que respecta a este apartado, ya les adelanté mi opinión. Entiendo que constante, constante, en este problema sólo son la masa del balón (m) y su velocidad inicial (v_o).

Aunque también se podría plantear como magnitud constante la aceleración de caída (g), si el campo gravitatorio terrestre se considerara uniforme en vez de central.

En cualquier caso nuestro punto de partida sería energético, utilizando el Principio de Conservación de la Energía (PCE), enunciado en 1847 por el físico y fisiólogo alemán, Hermann Helmholtz (1821-1894).

Principio de Conservación de la Energía (PCE)

En su formulación analítica puede presentarse como:

W_RES = W_CON + W_{NO CON} + W_EXT

Que en nuestra situación mecánica-gravitatoria adoptaría la expresión:

W_RES = W_GRA + W_ROZ + W_EXT

y que para las condiciones del problema, ausencia de fuerzas exteriores y de fricción (W_EXT = 0 ; W_ROZ = 0) y empleando el Teorema del Trabajo-Energía cinética, de aplicación general para cualquier tipo de fuerzas:

W_RES = ∆Ec

y Teorema del Trabajo-Energía potencial, sólo para fuerzas conservativas:

W_GRA = - ∆Ep_G

nos quedaría:

∆Ec = - ∆Ep_G     ;      ∆Ec + ∆Ep_G = 0     ;      ∆(Ec + Ep_G) = 0    ;

    ∆E_M = 0    ;     E_M = cte

es decir la Energía mecánica, E_M, entendida como suma de la cinética mas la potencial (E_M = Ec + Ep), se conserva al tratarse de un sistema conservativo.

E_M (i) = E_M (f)    ;   Ec (i) + Ep_G (i) = Ec (f) + Ep_G (f)

Conforme. La energía mecánica del balón permanece constante pero, ¿cuánto vale? Pues depende de las condiciones iniciales del enunciado problema. 

Y en él nos dicen que la velocidad inicial es la mitad de la de escape, v_o = v_esc / 2. Pero, ¿qué es la velocidad de escape?