Dados, Pepys y Newton

Les he dicho que Samuel Pepys se carteaba con Isaac Newton pues bien, en una de esas misivas epistolares, y una vez publicado el Principia, hacia 1693, el diarista le planteó un problema de probabilidades al físico.

Le dijo que quería hacer una apuesta con unos conocidos sobre unas tiradas de dados, y antes le consultaba sobre la probabilidad que tenía de ganarla. En esencia venía a preguntarle, ¿Qué es más probable sacar?:

A. Al menos un seis, lanzando seis dados?

B. Al menos dos seis, lanzando doce dados?

C. Al menos tres seis, lanzando dieciocho dados?

Y en la misma correspondencia le hacía saber que en su opinión, la respuesta correcta era la C. Sin embargo, por la respuesta que le dio, sabemos que el físico no pensó lo mismo en lo que respecta a la probabilidad. Y así se lo hizo saber.

La consulta y su respuesta son conocidas como “el problema de Newton-Pepys”.

El problema de Newton-Pepys

Aunque en puridad hay que decir que el problema lo tenía Pepys y la solución Newton. Pero bueno estas cosas pasan y al final compartieron problema y solución.

O al menos en parte, por lo que concierne al diarista ya que el físico lo que le proporcionó fue sólo una explicación intuitiva.

Le venía a decir que la probabilidad de sacar el número pedido de seis en cada una de las proposiciones era más alta en la primera. O sea que la respuesta correcta era la A.

Claro que para ello Newton imaginó que tanto en la proposición B como en la C se lanzaban los dados en grupos de seis (6).

Y decía que en ese caso la A era la más favorable, porque requería sacar un solo seis en un solo lanzamiento, mientras que B y C requerían sacar un seis en cada uno de sus lanzamientos.

Una explicación lógica hasta cierto punto y que resulta ser correcta, si bien adolece de ciertas congruencias. Les expongo dos.

Lógica y probabilidad

Una. Por ejemplo en el planteamiento original no se especifica que los dados se arrojen en grupos de seis.

Dos. Parte de la premisa de que un grupo de dados no produce más de un seis. Es decir se trata de una respuesta para un planteamiento que dista del original. Pero que sin embargo acierta.

Y es que han de saber que Newton, aparte del ejercicio de lógica, calculó también la probabilidad de que salgan los seis exigidos en cada uno de los tres casos. Y la mayor la tenía la A. Estas cosas pasan también.

Por si sienten curiosidad la probabilidad (con una aproximación de milésima) de la primera proposición es de 0,665, la de la segunda es del 0,619 y la de la tercera es de 0,597.

Unos resultados que se pueden obtener de la distribución binomial, si bien Newton no lo hace así. En general la probabilidad de lanzar al menos n seis con seis n dados, P (N), viene dada por:

Para saber más.