Cubo de Rubik. Cálculos teóricos estándares

(Continuación) De modo que estamos en condiciones de realizar los cálculos de nuestro cubo estándar, que haremos desarrollando de forma sencilla una fórmula matemática que nos dé el número de configuraciones que tiene nuestro cubo.

3×3×3. Cálculos

Dado que, como cualquier otro tiene ocho vértices, el primero tendrá ocho posiciones para colocarlo, el segundo solo siete (hay uno ya ocupado), el tercero sólo seis y así hasta los ocho cubos de los vértices; es decir habrá  8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 o en términos combinatorios ocho factorial, 8!.

Pero además existen un total de tres posibles orientaciones para cada uno de ellos, que nos darían 3⁸ posibilidades, así que por las esquinas ya tenemos  8! · 3⁸ configuraciones posibles

Y también doce aristas por lo que habrá, siguiendo el mismo razonamiento anterior, 12! = 12 · 11· 10· 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 formas diferentes de configurarlo; pero además existen un total de dos posibles orientaciones, que nos daría 2¹² posibilidades, así que por las aristas tenemos: 12! · 2¹².

Luego en principio, el resultado total para el cubo de Rubik (3×3×3) sería: 8! · 3⁸ · 2! · 2¹², sin embargo la realidad no es esta pues existen factores que lo reducen, debido al fenómeno de la paridad.

3×3×3. Cálculos limitantes

Empezando porque la configuración total de vértices y aristas debe de ser par, de modo que hay que eliminar la mitad, ¡o sea que quedan 8! · 3⁸ · 2! · 2¹² / 2.

Siguiendo con el hecho de que podemos orientar todos los vértices como queramos salvo uno, sin alterar nada más en el cubo, por lo que hay que eliminar la tercera parte de esas posibilidades, es decir  8! · 3⁸ · 2! · 2¹² / 3.

Y finalmente no se puede intercambiar la posición de únicamente dos aristas, o dos vértices, excepto que se hagan ambas cosas a la vez, por lo que tenemos que descontar la mitad de esas posibilidades, 8! · 3⁸ · 2! · 2¹² / 2.

Ergo en total el número de configuraciones o posiciones es  8! · 3⁸ · 2! · 2¹² / 2 · 3 · 2  o  8! · 3⁸ · 2! · 2¹² / 12 que si lo prefiere sin denominador queda como 8! · 3⁷ · 2! · 2¹⁰, una notación científica que podemos cambiar por 43 252 003 274 489 856 000.

3×3×3. Intentando comprender

Coincido en que estas limitaciones matemáticas no son tan fáciles de entender como los cálculos combinatorios anteriores, pero hasta aquí puedo llegar, he hecho todo lo que he podido por aclararlo y es que sólo soy químico. (Continuará)

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