Pasatiempos. 342 (Solución)

Y tras dejar un tiempo prudencial desde su enrocado, paso a ofrecerles una de las respuestas del conocido problema matemático del cocodrilo escocés. Empiezo con una traducción del mismo que bien podría ser ésta:

“Un cocodrilo situado a un lado de un río acecha a su presa, una cebra, que está situada al otro lado del río a 20 metros de distancia. El cocodrilo viaja a diferentes velocidades en tierra y en agua.

El tiempo que tarda el cocodrilo en alcanzar a su presa se puede minimizar si nada hasta un cierto punto P, situado en la otra orilla a x metros de la vertical del cocodrilo, como se muestra en la imagen. El tiempo total, T, medido en décimas de segundo viene dado por la expresión:

a) Calcula el tiempo si el cocodrilo: i) no va por tierra.  [1] ;  ii) nada la menor distancia posible.   [1]

b) Entre los dos extremos hay un valor de x que minimiza el tiempo. Encuentra: i) ese valor de x;  ii) el menor tiempo posible.   [8]

a)

  i) Si no va por tierra entonces el cocodrilo nada toda la distancia que le separa de la cebra, así que el valor de x es el mayor posible (20). Un simple cálculo algebráico de la expresión para este máximo valor nos da: T (20) = 104,4 ds = 10,4 s;  T (20) = 10,4 s

 ii) Si nada la menor distancia posible entonces el cocodrilo lo hace en vertical, así que el valor de x es el menor posible (0) Un simple cálculo algebráico de la expresión para este mínimo valor nos da: T (0) = 110 ds = 11,0 s;  T (0) = 11,0 s

Dado el bajo nivel de exigencia matemática es coherente la máxima valoración de un (1) punto de estos apartados.

b)

   i) Se trata pues del mínimo de la función T(x) que nos dan. Algo que cualquier estudiante de 2º de bachillerato puede calcular igualando a cero su primera derivada, lo que nos lleva al doble resultado de x = ± 8 que, con el adecuado sistema de referencia y criterio de signo reducimos a x = 8 m. Un valor para el mínimo que podemos comprobar determinando la segunda derivada para x = 8.

  ii) Para determinar el menor tiempo posible basta con sustituir de nuevo en la función inicial, el valor de la mínima distancia, x = 8, lo que nos da: T (8) = 98 ds = 9,8 s;  T (8) = 9,8 s

Y hasta aquí la traducción y solución del problema. Por “ponerle un pero” al problema, y dados los tiempos que corren, quizás convendría explicitar por separados las puntuaciones de los dos subapartados de b), que suponen ocho (8) puntos.

En lo que respecta a su idoneidad no parece un problema especialmente difícil para un bachiller que supuestamente quiere estudiar una carrera universitaria de ciencia.