La paradoja del cumpleaños (I)

Y ya que va de cumpleaños bisiesteros me gustaría traerles una paradoja relacionada con esta celebración. 

Es conocida como la paradoja del cumpleaños y no importa el día en el que se nació.

La teoría del asunto fue publicada en el ‘American Mathematical Monthly’ en 1938. Trataba sobre la 'Estimación del total de población de peces en un lago de Zoe Emily Schnabel', y se realizó bajo el nombre de "captura-recaptura estadística".

En nuestro caso tiene que ver con la ignorancia que tenemos de las matemáticas en general y de la teoría de la probabilidad en particular. Para situarles les planteo una pregunta:

¿Qué probabilidad creen ustedes que hay, de que en un grupo de, por ejemplo, 25 personas haya dos que cumplan los años el mismo día del mismo mes?

¿Qué le parece? ¿Mucha o poca?

No sé, quizás me equivoque, pero tengo para mí que lo más probable, es que usted piense que poca.

El mismo día del mismo mes. No. No es fácil que ocurra.

Son doce (12) meses de treinta (30) días de media. Vamos 365 días o 366 si es bisiesto.

No. Definitivamente. La probabilidad es muy pequeña. Eso no ocurrirá casi nunca.

Pues mire usted por donde, las ciencias matemáticas dicen todo lo contrario. Que no es tan pequeña. Que más bien es grande.

Y para demostrarlo basta con echar unas cuentas bachilleras. Veamos.

Lo que dicen las matemáticas (demostración)

En primero de bachiller debimos aprender cómo calcular la probabilidad de un suceso. Es fácil: basta dividir los casos favorables entre los casos posibles.

En nuestro caso la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas, en un grupo determinado, que cumplan los años el mismo día. Una probabilidad que llamaremos p.

Pasamos a calcularla si bien antes hacemos un par de puntualizaciones. La primera es obvia.

Lógicamente partimos de un grupo formado por 365 personas o menos. Si fuera mayor, la probabilidad valdría uno (1), ya que sería seguro que, al menos, dos personas nacieron el mismo día del mismo mes.

La segunda es de conveniencia. Tomamos un año de 365 días, aunque lo mismo nos daría que fuera de 366. Y ya estamos listos para empezar.

Si nos fijamos en una persona de ese grupo que cumplirá años cierto día, la probabilidad de que otra persona de ese grupo no coincida en esa fecha de cumpleaños será: 364/365 (recuerde casos favorables entre casos posibles).

Es decir, todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona (favorables), entre todos los días del año (posibles).

Si tomamos otra persona más, por la misma razón que antes, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las dos anteriores será ahora: 363/365.

Del mismo modo, si tomamos otra más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las tres anteriores será: 362/365. Y así sucesivamente. (Continuará)